త్రికోణికను ఎలా కారకం చేయాలి

విషయము

• దశల్లో
• పార్ట్ 1 x + bx + c ను కారకం చేయడానికి నేర్చుకోవడం
• పార్ట్ 2 మరింత క్లిష్టమైన త్రికోణికలను కారకం చేయడానికి నేర్చుకోవడం
• పార్ట్ 3 త్రికోణీకరణల యొక్క కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలు

ఈ వ్యాసంలో: x2 + bx + ను కారకం చేయడం నేర్చుకోవడం మరింత క్లిష్టమైన త్రికోణికలను కారకం చేయడం నేర్చుకోండి త్రికోణ కారకాల యొక్క కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలు 6 సూచనలు

దాని పేరు సూచించినట్లుగా, త్రికోణము అనేది ఒక గణిత వ్యక్తీకరణ, ఇది మూడు పదాల మొత్తాన్ని తీసుకుంటుంది.చాలా తరచుగా, మేము రెండవ డిగ్రీ యొక్క త్రికోణికలను అధ్యయనం చేయటం ప్రారంభిస్తాము: ఈ విధంగా సభ్యత్వం పొందుతారు: గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి. రెండవ డిగ్రీ యొక్క త్రికోణాన్ని కారకం చేయడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి. అభ్యాసంతో, మీరు ఇబ్బంది లేకుండా అక్కడకు చేరుకుంటారు. మనం చూడబోయే పద్ధతులు అధిక డిగ్రీ (x లేదా x తో) యొక్క త్రికోణికలకు వర్తించవు. ఏదేమైనా, ఈ చివరి త్రికోణికలను పని చేయడం ద్వారా, రెండవ డిగ్రీ యొక్క త్రికోణికలపై తిరిగి పడవచ్చు. ఇవన్నీ మేము వివరంగా చూస్తాము.

దశల్లో

పార్ట్ 1 x + bx + c ను కారకం చేయడానికి నేర్చుకోవడం

1. 
   

   
   SIDS పద్ధతిని ఉపయోగించండి. మీకు ఇది తెలిసి ఉండవచ్చు, కానీ దాని గురించి ఏమిటో గుర్తుంచుకుందాం. మీరు ద్విపద యొక్క ఉత్పత్తిని అభివృద్ధి చేయవలసి వచ్చినప్పుడు - (x + 2) (x + 4), ఉదాహరణకు - మీరు "మొదటి, బాహ్య, అంతర్గత, చివరి" క్రమంలో వేర్వేరు పదాల ఉత్పత్తులను సంకలనం చేయాలి. వివరంగా, ఇది ఇస్తుంది:
   • గుణకారం మొదటి వాటి మధ్య నిబంధనలు:x+2)(x+4) = x + __
   • నిబంధనలను గుణించండి బాహ్య వాటి మధ్య: (x2) (x +4) = x + 4x + __
   • నిబంధనలను గుణించండి అంతర్గత వాటి మధ్య: (x +2)(x+4) = x + 4x + 2x + __
   • గుణకారం తాజా వాటి మధ్య నిబంధనలు: (x +2) (X +4) = x + 4x + 2x + 8
   • సరళీకృతం చేయడం ద్వారా ముగించండి: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8

2. 
   

   
   
   
   కారకం ఏమిటో అర్థం చేసుకోండి. మీరు రెండు జతల ఉత్పత్తిని అభివృద్ధి చేసినప్పుడు, మీరు రూపం యొక్క త్రికోణాన్ని పొందుతారు: ఉందిx +బిx +సి, a, b మరియు c వాస్తవ సంఖ్యలు. మేము రివర్స్ ఆపరేషన్ చేసినప్పుడు, త్రికోణిక నుండి ద్విపద ఉత్పత్తికి వెళ్ళండి, మేము అని చెప్తాము factorises.
   • స్పష్టత కొరకు, శక్తిని తగ్గించే క్రమంలో త్రికోణం యొక్క నిబంధనలను ర్యాంక్ చేయాలి. కాబట్టి, మేము మీకు ఇస్తే: 3x - 10 + x, మీరు క్రమంలో తిరిగి వ్రాయాలి: x + 3x - 10.
   • అతిపెద్ద ఘాతాంకం 2 (x), మేము "రెండవ డిగ్రీ" త్రికోణం గురించి మాట్లాడుతాము.

3. 
   

   
   కారకం ప్రారంభంలో, మేము ద్విపద యొక్క ఉత్పత్తి రూపాన్ని ఉంచాము. వ్రాయండి: (__ __)(__ __). మేము ఖాళీగా ఉన్న ఖాళీలను, అలాగే సంకేతాలను క్రమంగా నింపుతాము.
   • ప్రస్తుతానికి మేము ద్విపద యొక్క రెండు పదాల మధ్య ఎటువంటి గుర్తును (+ లేదా -) ఉంచము.

4. 
   

   
   
   
   ప్రతి జత యొక్క మొదటి నిబంధనలను కనుగొనడం ద్వారా మీరు తప్పక ప్రారంభించాలి. మీ త్రికోణము x తో మొదలైతే, జతల యొక్క మొదటి రెండు పదాలు తప్పనిసరిగా ఉంటాయి x మరియు xx సార్లు x = x నుండి.
   • మా ప్రారంభ త్రికోణ జీవి: x + 3x - 10 మరియు x వద్ద గుణకం లేనందున, మేము వెంటనే వ్రాయవచ్చు:
   • (x __) (x __)
   • X యొక్క గుణకం 6x లేదా -x వంటి 1 నుండి భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు ఎలా ముందుకు సాగుతుందో మనం తరువాత చూస్తాము. ప్రస్తుతానికి, మేము ఈ సాధారణ కేసుతో మిగిలిపోయాము.

5. 
   

   
   జంటల చివరి నిబంధనలు ఏమిటో to హించడానికి ప్రయత్నించండి. PEID పద్ధతిలో, ద్విపద యొక్క చివరి నిబంధనలు ఎలా అభివృద్ధి చేయబడ్డాయో సమీక్షించండి. మనం ఇప్పుడు దీనికి విరుద్ధంగా చేయాలి. త్రికోణం యొక్క చివరి పదాన్ని ("స్థిరమైన") పొందటానికి మేము చివరి రెండు పదాలను గుణించాము. కాబట్టి, మీరు రెండు సంఖ్యలను కనుగొనవలసి ఉంటుంది, వాటి మధ్య గుణించి, త్రికోణిక యొక్క స్థిరాంకాన్ని మీకు ఇస్తుంది.
   • మా ఉదాహరణలో: x + 3x - 10, స్థిరాంకం -10.
   • -10 యొక్క కారకాలు ఏమిటి? వాటి మధ్య గుణించి, మీకు -10 ఇచ్చే రెండు సంఖ్యలు ఏమిటి?
   • సాధ్యమయ్యే అన్ని సందర్భాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 మరియు 2 x -5. మీరు గుర్తుంచుకోవడానికి ఈ కలయికలను ఎక్కడో వ్రాయండి.
   • ప్రస్తుతానికి, మీ ద్విపద ఉత్పత్తి మారదు. అతను ఎల్లప్పుడూ ఇలా ఉంటాడు: (x __) (x __).

6. 
   

   
   విభిన్న కలయికలను పరీక్షించండి. స్థిరాంకం నుండి, మీరు కొన్ని కారకాల కలయికలను గుర్తించగలిగారు, అవి తప్పక పనిచేయాలి (త్రికోణం తగ్గించగలిగితే). ఈ సమయంలో, వాటిలో ఒకటి త్రికోణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుందో లేదో చూడటానికి ప్రతి కలయికను పరీక్షించడం తప్ప వేరే పరిష్కారాలు లేవు. ఉదాహరణకు:
   • మా ఉదాహరణలో, ఉత్పత్తి "బాహ్య" మరియు "అంతర్గత" ఉత్పత్తి మొత్తం 3x ఉండాలి (x + నుండి తీసుకోబడింది 3x - 1)
   • -1 మరియు 10 కలయికను తీసుకోండి: (x - 1) (x + 10). ఉత్పత్తి "బాహ్య" మరియు ఉత్పత్తి "అంతర్గత" మొత్తం: 10x - x = 9x. ఇది పనిచేయదు!
   • 1 మరియు -10 కలయికను తీసుకోండి: (x + 1) (x - 10). ఉత్పత్తి "బాహ్య" మొత్తం మరియు "అంతర్గత" ఉత్పత్తి ఇస్తుంది: -10x + x = -9x. ఇది ఇప్పటికీ వెళ్ళదు! ఈ చివరి చెక్ పనికిరానిదని మీరు గమనించవచ్చు. నిజమే, జత (-1.10) 9x ఇస్తుంది మరియు జత (1, -10) ఇస్తుంది -9x. కాబట్టి ఒకే జతను పరీక్షించండి.
   • -2 మరియు 5 కలయికను తీసుకోండి: (x - 2) (x + 5). ఉత్పత్తి "బాహ్య" మరియు ఉత్పత్తి "అంతర్గత" మొత్తం: 5x - 2x = 3x. యురేకా! సమాధానం: (x - 2) (x + 5).
   • త్రినామియల్స్ విషయంలో ఇది చాలా సులభం (x తో ప్రారంభమవుతుంది), మనం తక్కువ చేయవచ్చు. రెండు సంభావ్య కారకాలను జోడించి, చివరిలో "x" ను జోడించండి మరియు ఇది సరైన కలయిక అయితే మీరు వెంటనే చూస్తారు. అక్కడ మీరు: -2 + 5 → 3x. X ఒక గుణకం ద్వారా చుట్టుముట్టబడితే, అప్పుడు పద్ధతి పనిచేయదు, అందువల్ల వివరణాత్మక పద్ధతిని గుర్తుంచుకోవడం మంచిది.

పార్ట్ 2 మరింత క్లిష్టమైన త్రికోణికలను కారకం చేయడానికి నేర్చుకోవడం

1. 
   

   
   మీ త్రికోణాన్ని సరళమైన త్రయంలాగా మార్చండి. మీరు ఈ క్రింది త్రికోణాన్ని కారకం చేయాలని అనుకుందాం: 3x + 9x - 30. ఈ మూడు పదాలకు సాధారణమైన విభజన లేదా అని చూడటానికి ప్రయత్నించండి. మేము అప్పుడు అతిపెద్దదాన్ని తీసుకుంటాము (చాలా ఉంటే), దాని పేరు "మోస్ట్ గ్రేట్ కామన్ డివైజర్" (లేదా పిజిసిడి). మన త్రికోణంలో ఇది 3 అవుతుంది. దీనిని వివరంగా చూద్దాం:
   • 3x = (3) (x)
   • 9x = (3) (3x)
   • -30 = (3)(-10)
   • అందువలన, 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). అందువల్ల, పైన వివరించిన పద్ధతి ప్రకారం రెండవ కుండలీకరణాలను కారకం చేయడం సులభం. మేము ఈ క్రింది విధంగా పొందుతాము: (3) (x-2) (x + 5). మేము మర్చిపోకూడదు 3 కారకంగా ఉంచండి.

2. 
   

   
   కొన్నిసార్లు మనం వాస్తవ సంఖ్యలను కారకం చేయలేము, కాని తెలియని పరిమాణాలు. ఈ విధంగా మనం "x", "y" లేదా "xy" లో కారకం చేయవచ్చు. ఇక్కడ కొన్ని ఉదాహరణలు:
   • 2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)
   • x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
   • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
   • అప్పుడు, వాస్తవానికి, మనం ఇంతకుముందు చూసినట్లుగా కొత్త త్రికోణాన్ని కారకం చేయండి. లోపాలు లేవా అని తనిఖీ చేయండి. ఈ వ్యాసం చివరలో సూచించిన వ్యాయామాలతో ప్రాక్టీస్ చేయండి.

3. 
   

   
   గుణకం ద్వారా చుట్టుముట్టబడిన x తో త్రికోణికలను కారకం చేయడానికి ప్రయత్నించండి. రెండవ డిగ్రీ యొక్క కొన్ని త్రికోణికలు కారకం చేయడం చాలా కష్టం, 3x + 10x + 8 యొక్క చిత్రం. మేము ఎలా ముందుకు వెళ్తామో చూద్దాం, అప్పుడు వ్యాసం చివరలో ప్రతిపాదించిన వ్యాయామాలతో మీరు ఏమి శిక్షణ పొందవచ్చు. మేము ఎలా పనిచేస్తామో ఇక్కడ ఉంది:
   • జంటల ఉత్పత్తిని అడగండి: (__ __)(__ __)
   • రెండు "మొదటి" పదాలలో ప్రతిదానికి "x" ఉండాలి మరియు రెండింటి ఉత్పత్తి 3x ఉండాలి. ఒకే ఒక అవకాశం ఉంది: (3x __) (x __), 3 ప్రధాన సంఖ్య.
   • 8 యొక్క కారకాలను కనుగొనండి.రెండు అవకాశాలు ఉన్నాయి: 1 x 8 లేదా 2 x 4.
   • జతల స్థిరాంకాలను కనుగొనడానికి ఈ కలయికలను తీసుకోండి. ముఖ్యమైన పాయింట్: తెలియని "x" కి వేర్వేరు గుణకాలు ఉన్నందున, కలయిక యొక్క క్రమం ముఖ్యమైనది. మీరు మధ్య చివరను కనుగొనాలి, ఇక్కడ, 10x. విభిన్న కలయికలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:
   • (3x + 1) (x + 8) 24x + x = 25x ఏ!
   • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x ఏ!
   • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x ఏ!
   • (3x + 4) (x + 2) 6x + 4x = 10x అవును! ఇది సరైన కారకం.

4. 
   

   
   తెలియని 2 కంటే ఎక్కువ శక్తిని కలిగి ఉన్న సమక్షంలో, తెలియని ప్రత్యామ్నాయాన్ని సృష్టించవచ్చు. ఒక రోజు, మీరు ఖచ్చితంగా నాల్గవ (x) లేదా ఐదవ డిగ్రీ (x) యొక్క త్రికోణాన్ని కారకం చేయాలి. ఈ త్రికోణాన్ని తిరిగి తెలిసిన వాటికి తీసుకురావడం లక్ష్యం, అనగా, సమస్య లేకుండా కారకం చేయడానికి రెండవ డిగ్రీ యొక్క త్రికోణము. ఉదాహరణకు:
   • x + 13x + 36x
   • = (x) (x + 13x + 36)
   • సమస్యను సులభతరం చేసే కొత్త తెలియనిదాన్ని కనుగొనండి. మేము ఇక్కడ Y = x అని ఉంచుతాము. ఇది సర్రోగేట్ అని గుర్తుంచుకోవడానికి మేము Y మూలధనాన్ని ఉంచాము. త్రికోణం అప్పుడు అవుతుంది:
   • = (x) (Y + 13Y + 36): పార్ట్ 1 లో ఉన్నట్లుగా మేము కారకం చేస్తాము.
   • = (x) (Y + 9) (Y + 4). తెలియని ప్రత్యామ్నాయాన్ని దాని నిజమైన విలువతో భర్తీ చేయాల్సిన సమయం ఇది:
   • = (x) (x + 9) (x + 4)
   • = (x) (x + 3) (x - 3) (x + 2) (x - 2)

పార్ట్ 3 త్రికోణీకరణల యొక్క కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలు

1. 
   

   
   సాధ్యమయ్యే ప్రధాన సంఖ్యల కోసం చూడండి. మొదటి లేదా మూడవ పదం యొక్క స్థిరమైన మరియు / లేదా గుణకం ప్రధాన సంఖ్యలు కాదా అని చూడండి. 1 లేదా దాని ద్వారా మాత్రమే విభజించబడినప్పుడు ఒక సంఖ్య "ప్రైమ్" అని చెప్పబడిందని గుర్తుంచుకోండి. ఈ నిర్వచనం నుండి మొదలుకొని, పైన సూచించిన ప్రదేశాలలో మనం ఒక ప్రధాన సంఖ్యను కనుగొంటే, త్రికోణిక ద్విపద యొక్క ఒకే ఉత్పత్తి రూపంలో మాత్రమే కారకం అవుతుంది.
   • ఉదాహరణకు, x + 6x + 5 లో, స్థిరాంకం 5 ఒక ప్రధాన సంఖ్య, కాబట్టి ద్విపద ఉత్పత్తి ఈ రూపంలో ఉంటుంది: (__ 5) (__ 1)
   • 3x + 10x + 8 లో, గుణకం 3 ఒక ప్రధాన సంఖ్య, కాబట్టి ద్విపద యొక్క ఉత్పత్తి ఈ రూపంలో ఉంటుంది: (3x __) (x __).
   • చివరగా, 3x + 4x + 1 లో, 3 మరియు 1 ప్రధాన సంఖ్యలు కావడంతో, సాధ్యమయ్యే ఏకైక పరిష్కారం: (3x + 1) (x + 1). అయితే, ఎల్లప్పుడూ కలయికను తనిఖీ చేయండి. కొన్ని త్రికోణికలను కారకం చేయలేము.అందువల్ల, 3x + 100x + 1 కారకం కాదు (ఇది "red హించలేనిది" అని మేము చెప్తాము). 3 మరియు 1 తో, మీరు ఎప్పటికీ 100 పొందలేరు.

2. 
   

   
   ఈ ఉదాహరణను మాత్రమే తీసుకోవటానికి ఒక ఖచ్చితమైన చదరపు, ఒక గొప్ప గుర్తింపు యొక్క అభివృద్ధి అయిన ఒక త్రికోణం విషయంలో ఎల్లప్పుడూ ఆలోచించాలి. ఖచ్చితమైన చతురస్రం ద్వారా మేము రెండు ఒకేలాంటి జంటల ఉత్పత్తిని అర్ధం: (x + 1) (x + 1) మనం వ్రాసే (x + 1). ఈ ఖచ్చితమైన చతురస్రాల్లో కొన్ని ఇక్కడ ఉన్నాయి:
   • x + 2x + 1 = (x + 1) మరియు x - 2x + 1 = (x - 1)
   • x + 4x + 4 = (x + 2) మరియు x - 4x + 4 = (x - 2)
   • x + 6x + 9 = (x + 3) మరియు x - 6x + 9 = (x - 3)
   • ఒక త్రయం ఉందిx + బిx + సి ఉంటే ఒక ఖచ్చితమైన చదరపు అభివృద్ధి ఉంది మరియు సి అవి సానుకూల చతురస్రాలు (1, 4, 9, 16, 25 ... వంటివి) మరియు ఉంటే బి (సానుకూల లేదా ప్రతికూల) 2 (xa x √c) = 2 toac కు సమానం.

3. 
   

   
   కారకం చేయడం సాధ్యమేనా అని చూడండి. నిజమే, iI అనేది త్రికోణికలు, అది కారకం కాదు. రెండవ కానానికల్ రూపం గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి యొక్క త్రికోణాన్ని కారకం చేయడానికి మీరు కష్టపడుతుంటే, స్పష్టమైన మూలాలు లేనందున, మీరు వివక్షత (Δ) పద్ధతిని ఉపయోగించాలి.తరువాతి ఈ క్రింది విధంగా లెక్కించబడుతుంది: = √b - 4ac. Δ <0 అయితే, త్రికోణాన్ని కారకం చేయలేము.
   • రెండవ డిగ్రీ లేని త్రికోణికల కోసం, "చిట్కాలు" విభాగంలో వివరించిన ఐసెన్‌స్టెయిన్ ప్రమాణాన్ని ఉపయోగించండి.