విషయము
- దశల్లో
- ప్రారంభించడానికి
- విధానం 1 విచారణ మరియు లోపం ద్వారా కొనసాగండి
- విధానం 2 కుళ్ళిపోవటం ద్వారా కొనసాగండి
- విధానం 3 "ట్రిపుల్ గేమ్"
- విధానం 4 రెండు చతురస్రాల తేడా
- విధానం 5 వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం
- విధానం 6 కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించి
బహుపది అనేది ఒక నిర్దిష్ట శక్తికి పెంచబడిన వేరియబుల్ (x) తో కూడి ఉంటుంది, మరియు అనేక ఇతర పదాలు తక్కువ డిగ్రీలు మరియు / లేదా అనేక ఇతర స్థిరాంకాలు. రెండవ డిగ్రీ యొక్క బహుపదిని కారకం చేయడం (దీనిని "క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం" అని కూడా పిలుస్తారు) అంటే ప్రారంభ వ్యక్తీకరణను చిన్న డిగ్రీల వ్యక్తీకరణల ఉత్పత్తికి తగ్గించడం, తరువాత ఒకదానితో ఒకటి గుణించవచ్చు. ఈ జ్ఞానం హైస్కూల్ కోర్సులో భాగం మరియు మరెన్నో, కాబట్టి మీకు ఇంకా అవసరమైన స్థాయి గణితం లేకపోతే ఈ వ్యాసం అర్థం చేసుకోవడం కష్టం.
దశల్లో
ప్రారంభించడానికి
-
మీ వ్యక్తీకరణ రాయండి. రెండవ డిగ్రీ సమీకరణం యొక్క ప్రామాణిక రూపం:గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి = 0
మీ సమీకరణం యొక్క నిబంధనలను అధికారాల క్రమం ప్రకారం, పెద్ద రూపం నుండి చిన్నది వరకు, ప్రామాణిక రూపంలో అమర్చడం ద్వారా ప్రారంభించండి. ఉదాహరణకు తీసుకోండి:6 + 6x + 13x = 0
నిబంధనలను తరలించడం ద్వారా పనిని సులభతరం చేయడానికి మేము ఈ వ్యక్తీకరణను క్రమాన్ని మారుస్తాము:6x + 13x + 6 = 0. -
క్రింద వివరించిన పద్ధతుల్లో ఒకదాన్ని ఉపయోగించి కారకమైన ఫారమ్‌ను కనుగొనండి. కారకం రెండు చిన్న వ్యక్తీకరణలను ఇస్తుంది, అవి మనం ఒకదానితో ఒకటి గుణిస్తే ప్రారంభ బహుపదిని ఇస్తాయి:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
ఈ ఉదాహరణలో, (2x +3) మరియు (3x + 2) ఉన్నాయి కారకాలు ప్రారంభ వ్యక్తీకరణ యొక్క, 6x + 13x + 6. -
మీ పనిని తనిఖీ చేయండి! మీరు గుర్తించిన కారకాలను గుణించండి. అప్పుడు ఇలాంటి పదాలను మిళితం చేయండి మరియు మీరు పూర్తి చేస్తారు. దీనితో ప్రారంభించండి:(2x + 3) (3x + 2)
ఈ వ్యక్తీకరణను పరీక్షించడం ప్రారంభిద్దాం, పొందడానికి రెండు వ్యక్తీకరణల నిబంధనలను గుణించాలి:6x + 4x + 9x + 6
అక్కడ నుండి, మేము 4x మరియు 9x లను జోడించవచ్చు ఎందుకంటే అవి ఒకే డిగ్రీ నిబంధనలు. నిష్క్రమణ వ్యక్తీకరణపై మనం బాగా పడిపోతున్నందున మా కారకాలు సరైనవని మాకు తెలుసు:6x + 13x + 6.
విధానం 1 విచారణ మరియు లోపం ద్వారా కొనసాగండి
మీరు చాలా సరళమైన బహుపదితో వ్యవహరిస్తుంటే, మీరు దాని కుళ్ళిపోవడాన్ని ఒక కారక ఉత్పత్తిగా ఒక చూపులో కనుగొనగలుగుతారు. ఉదాహరణకు, చాలా మంది గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఆ వ్యక్తీకరణను చూడగలుగుతారు 4x + 4x + 1 అలవాటు ద్వారా మరియు అనుభవంతో (2x + 1) మరియు (2x + 1) కారకాలను ఇస్తుంది (స్పష్టంగా, సంక్లిష్ట బహుపదాల విషయంలో ఇది అంత సులభం కాదు). ఈ ఉదాహరణ కోసం, తక్కువ సాధారణ వ్యక్తీకరణను తీసుకుందాం:
.
-
గుణకం కారకాల జాబితాను రూపొందించండి ఉంది మరియు సి. రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణను ఉపయోగించడం గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి = 0, గుణకాలను గుర్తించండి ఉంది మరియు సి మరియు సంబంధిత కారకాలను జాబితా చేయండి. దీని కోసం: 3x + 2x - 8, ఇది ఇస్తుంది:a = 3 మరియు ఒకే జత కారకాలను కలిగి ఉంది: 1 * 3 c = -8 మరియు నాలుగు జతల కారకాలు: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, మరియు -1 * 8 .. -
మీ కాగితంపై రెండు జతల కుండలీకరణాలను వాటి లోపల వ్రాయడానికి స్థలంతో రాయండి. అందించిన స్థలంలో ప్రతి వ్యక్తీకరణకు మీరు స్థిరాంకాలను నమోదు చేస్తారు:(x) (x). -
X కి ముందు, గుణకం కోసం ఒక జత కారకాలను రాయండి ఉంది. గుణకం కోసం ఉంది మా ఉదాహరణలో, 3x, ఒకే ఒక అవకాశం ఉంది:(3x) (1x). -
అప్పుడు గుణకం కోసం ఒక జత కారకాలతో మిగిలిన రెండు ఖాళీ ఖాళీలను పూరించండి సి. ఉదాహరణకు 8 మరియు 1 ను తీసుకోండి. వాటిని రాయండి:(3x8) (X1). -
గుర్తును ఇప్పుడు నిర్ణయించండి (మరింత లేదా తక్కువ) x మరియు మీరు అతని తర్వాత ఉంచిన సంఖ్య మధ్య ఉంచడానికి. అసలు వ్యక్తీకరణ యొక్క సంకేతం ప్రకారం, స్థిరాంకాల సంకేతాలు ఏమిటో కనుగొనడం సాధ్యపడుతుంది. కాల్ h మరియు k మా కారకాల స్థిరాంకాలు:గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి అయితే (x + h) (x + k) గొడ్డలి - బిఎక్స్ - సి లేదా గొడ్డలి + బిఎక్స్ - సి అయితే (x - h) (x + k) గొడ్డలి - bx + c అయితే (x - h) (x - k)
మా ఉదాహరణలో, 3x + 2x - 8, సంకేతాలను ఈ క్రింది విధంగా ఉంచాలి: (x - h) (x + k), ఇది మాకు ఈ క్రింది రెండు అంశాలను ఇస్తుంది:(3x + 8) మరియు (x - 1). -
మీ కారకమైన ఫారమ్‌ను పునరాభివృద్ధి చేయడం ద్వారా తనిఖీ చేయండి. మధ్య పదానికి సరైన విలువ ఉందో లేదో తనిఖీ చేయడం మొదటి శీఘ్ర పరీక్ష.X మంచిది కాకపోతే, మీరు గుణకం కోసం తప్పు జత కారకాలను ఎంచుకోవచ్చు సి. మన ఫలితాలను తనిఖీ చేద్దాం:(3x + 8) (x - 1)
గుణకారం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది:3x - 3x + 8x - 8
ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి ఇలాంటి పదాలను (-3x) మరియు (8x) కలుపుతూ, మేము పొందుతాము:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
మేము బహుశా తప్పు కారకాలను గుర్తించామని ఇప్పుడు మాకు తెలుసు:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8. -
అవసరమైతే, మీ ఎంపిక కారకాలను మార్పిడి చేసుకోండి. మా ఉదాహరణలో, 1 మరియు 8 కు బదులుగా 2 మరియు 4 లను ప్రయత్నిద్దాం:(3x + 2) (x - 4)
ఇప్పుడు మా గుణకం సి -8, కానీ గుణకాలు (3x * -4) మరియు (2 * x) -12x మరియు 2x ను ఇస్తాయి, ఇవి అదనంగా ఎల్లప్పుడూ ప్రారంభ విలువను ఇవ్వవు బి, అంటే + 2x.-12x + 2x = 10x 10x 2x. -
అవసరమైతే, ఆర్డర్ రివర్స్ చేయండి. మేము మా ఉదాహరణలో 2 మరియు 4 స్థానాలను విలోమం చేస్తాము:(3x + 4) (x - 2)
ఇప్పుడు గుణకం సి ఎల్లప్పుడూ మంచిది, కానీ x లోని పదాల గుణకాలు ఈసారి -6x మరియు 4x విలువైనవి.జోడించిన తర్వాత, ఇది ఇస్తుంది:-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x మేము కనుగొనడానికి ప్రయత్నిస్తున్న 2x యొక్క ప్రారంభ విలువకు చాలా దగ్గరగా ఉన్నాము, కాని సంకేతం మంచిది కాదు. -
అవసరమైతే మళ్ళీ సంకేతాలను తనిఖీ చేయండి. మేము ఇప్పుడు అదే క్రమాన్ని ఉంచుతాము, కాని మేము సంకేతాలను మార్పిడి చేస్తాము:(3x - 4) (x + 2)
ముందు గుణకం సి ఎల్లప్పుడూ మంచిది, మరియు x లోని పదాలు ఇప్పుడు విలువైనవి (6x) మరియు (-4x). ఎందుకంటే:6x - 4x = 2x 2x = 2x కాబట్టి మనకు మొదట ఉన్న 2x లభిస్తుంది. కాబట్టి మేము సరైన కారకాలను కనుగొన్నాము.
విధానం 2 కుళ్ళిపోవటం ద్వారా కొనసాగండి
ఈ పద్ధతి గుణకాలను పొందటానికి సాధ్యమయ్యే అన్ని అంశాలను గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది ఉంది మరియు సి మరియు ఏ కారకాలు సరైనవో గుర్తించడానికి వాటిని ఉపయోగించండి. సంఖ్యలు చాలా పెద్దవిగా ఉంటే లేదా ఇతర ట్రయల్ మరియు ఎర్రర్ పద్ధతులు చాలా పొడవుగా అనిపిస్తే, మీరు ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు. కింది ఉదాహరణ తీసుకోండి:
.
-
గుణకాన్ని గుణించాలి ఉంది గుణకం ద్వారా సి. మా ఉదాహరణలో, ఉంది 6 మరియు సమానం సి 6 కి సమానం.6 * 6 = 36. -
గుణకాన్ని కనుగొనండి బి కారకాన్ని కారకం చేసి, ఆపై పొందిన కారకాలను పరీక్షించడం ద్వారా. మేము ఉత్పత్తి యొక్క కారకాలు అయిన రెండు సంఖ్యల కోసం చూస్తున్నాము ఉంది * సి ఇది మేము గుర్తించాము మరియు దీని మొత్తం గుణకం "బి" (13) విలువకు విలువైనది.4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
మీరు మీ సమీకరణంలోకి ప్రవేశించిన రెండు సంఖ్యలను పరిచయం చేయండి; వాటిని x ముందు ఉంచండి, తద్వారా వాటి మొత్తం గుణకానికి సమానం బి. అక్షరాలు తీసుకుందాం k మరియు h పొందిన రెండు సంఖ్యలను సూచించడానికి, 4 మరియు 9:గొడ్డలి + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
సమూహం చేయడం ద్వారా మీ బహుపదిని కారకం చేయండి. మొదటి రెండు పదాల యొక్క అతిపెద్ద సాధారణ కారకాన్ని మరియు చివరి రెండు పదాల యొక్క అతిపెద్ద సాధారణ కారకాన్ని కనుగొనడానికి సమీకరణాన్ని నిర్వహించండి. అప్పుడు మీరు రెండు ఒకేలా కారకమైన రూపాల మొత్తాన్ని పొందాలి. రెండు గుణకాలను కలిపి, మీ కారకమైన రూపం ముందు కుండలీకరణాల్లో ఉంచండి; అప్పుడు మీరు మీ రెండు అంశాలను పొందుతారు:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2).
విధానం 3 "ట్రిపుల్ గేమ్"
ఈ పద్ధతి మునుపటి పద్ధతికి చాలా పోలి ఉంటుంది.గుణకాల ఉత్పత్తులకు సాధ్యమయ్యే కారకాలను పరిశీలించడం ఇందులో ఉంటుంది ఉంది మరియు సి, ఆపై విలువను కనుగొనడానికి వాటిని ఉపయోగించండి బి. ఉదాహరణకు ఈ క్రింది సమీకరణాన్ని తీసుకోండి:
-
గుణకాన్ని గుణించాలి ఉంది గుణకం ద్వారా సి. కుళ్ళిపోయే పద్ధతి మాదిరిగా, గుణకం కోసం సంభావ్య అభ్యర్థులను గుర్తించడానికి ఇది మాకు సహాయపడుతుంది బి. మా ఉదాహరణలో, ఉంది 8 మరియు సి విలువ 2.8 * 2 = 16. -
ఇంతకుముందు కనుగొనబడిన సంఖ్య (16) మరియు దీని మొత్తం గుణకం "బి" ను ఇచ్చే రెండు సంఖ్యలను కనుగొనండి. ఈ దశ కుళ్ళిపోయే పద్ధతికి సమానంగా ఉంటుంది - అనగా, మేము స్థిరాంకాల కోసం అభ్యర్థులను పరీక్షించి తిరస్కరించాము. గుణకాల ఉత్పత్తి ఉంది మరియు సి 16 కు సమానం, మరియు గుణకం సి 10 కి సమానం:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
ఈ రెండు సంఖ్యలను తీసుకొని వాటిని "ట్రిపుల్ ప్లే" ఫార్ములాలో భర్తీ చేయండి. మునుపటి దశ నుండి రెండు సంఖ్యలను తీసుకోండి - వాటిని పిలుద్దాం h మరియు k - మరియు వాటిని క్రింది వ్యక్తీకరణలో పరిచయం చేయండి:((గొడ్డలి + గం) (గొడ్డలి + కె)) / ఎ
మేము అప్పుడు పొందుతాము:((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
న్యూమరేటర్‌లోని పేరెంటెటికల్ వ్యక్తీకరణలలో ఏది గుణకం ద్వారా విభజించబడిందో కనుగొనండి ఉంది. ఈ ఉదాహరణలో, (8x + 8) లేదా (8x + 2) ను 8 ద్వారా విభజించవచ్చా అని మేము పరీక్షిస్తాము. (8x + 8) 8 ద్వారా భాగించబడుతుంది, అప్పుడు మేము ఈ వ్యక్తీకరణను దీని ద్వారా విభజిస్తాము ఉంది మరియు ఇతర వ్యక్తీకరణను అలాగే ఉంచండి.(8x + 8) = 8 (x + 1)
మనం ఇక్కడ ఉంచే వ్యక్తీకరణ గుణకం ద్వారా విభజన తరువాత మిగిలి ఉంటుంది ఉంది : (x + 1). -
కనుగొనండి - ఉంటే - రెండు కుండలీకరణాల్లో పెద్ద సాధారణ అంశం. మా ఉదాహరణలో, రెండవ వ్యక్తీకరణ 8x + 2 = 2 (4x + 1) నుండి 2 యొక్క పెద్ద సాధారణ కారకాన్ని కలిగి ఉంది. మునుపటి దశలో మీరు కనుగొన్న వ్యక్తీకరణతో ఈ జవాబును కలపండి. మీ బహుపది యొక్క రెండు కారకాలను మీరు కనుగొన్నారు.2 (x + 1) (4x + 1).
విధానం 4 రెండు చతురస్రాల తేడా
బహుపదాల యొక్క కొన్ని గుణకాలను "చతురస్రాలు" గా గుర్తించవచ్చు, అనగా రెండు సంఖ్యల గుణకారం యొక్క ఉత్పత్తులు. ఈ చతురస్రాలను గుర్తించడం ద్వారా, మీరు కొన్ని బహుపదాలను చాలా వేగంగా కారకం చేయవచ్చు.ఉదాహరణకు సమీకరణాన్ని తీసుకోండి:
-
ప్రతిదీ సాధ్యమైతే పెద్ద సాధారణ కారకంగా కారకం చేయడం ద్వారా ప్రారంభించండి. మా ఉదాహరణలో, మేము 27 మరియు 12 ని చూస్తాము, రెండూ 3 ద్వారా భాగించబడతాయి, కాబట్టి ప్రారంభ వ్యక్తీకరణను ఈ క్రింది విధంగా "పేల్చవచ్చు":27x - 12 = 3 (9x - 4). -
మీ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు స్క్వేర్డ్ సంఖ్యలు అని గుర్తించండి. ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించడానికి, మీరు మీ గుణకాల కోసం వర్గమూలాలను కనుగొనగలుగుతారు (మేము ప్రతికూల సంకేతాలను పరిగణించలేమని గమనించండి - మేము చతురస్రాలతో వ్యవహరిస్తున్నప్పుడు, అవి రెండు సానుకూల సంఖ్యల ఉత్పత్తి కావచ్చు లేదా నెగటివ్)9x = 3x * 3x మరియు 4 = 2 * 2. -
మీరు కనుగొన్న వర్గమూలాలను ఉపయోగించి, మీ అంశాలను రాయండి. యొక్క విలువలను తీసుకోండి ఉంది మరియు సి గతంలో కనుగొనబడింది - ఉంది = 9 మరియు సి = 4 - వాటి వర్గమూలాన్ని కనుగొనే ముందు -ఉంది = 3 మరియుసి = 2. ఇవి మా కారకమైన వ్యక్తీకరణల గుణకాలు:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
విధానం 5 వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం
పై పద్ధతులన్నీ విఫలమైతే మరియు మీ సమీకరణానికి సరైన కారకాలను మీరు కనుగొనలేకపోతే, అప్పుడు చతురస్రాకార సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి. కింది ఉదాహరణ తీసుకోండి:
-
"A", "b" మరియు "c" గుణకాల విలువలను తీసుకొని వాటిని క్రింది వర్గ సూత్రంలో భర్తీ చేయండి:x = -b ± √ (బి - 4ac)
---------------------
2a
మేము అప్పుడు వ్యక్తీకరణను పొందుతాము:x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2. -
X ను కనుగొనడానికి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. మీరు పైన చూడగలిగినట్లుగా, మీరు x యొక్క రెండు విలువలను పొందాలి:
x = -2 + √ (3) లేదా x = -2 - (3). -
కారకాలను కనుగొనడానికి x విలువను ఉపయోగించండి. రెండు బహుపది వ్యక్తీకరణల స్థిరాంకాలుగా గతంలో పొందిన x విలువలను నమోదు చేయండి. ఇవి మీ కారకాలు. కాల్ h మరియు k x యొక్క విలువలు మరియు రెండు కారకాల రూపాలను వ్రాయండి:(x - h) (x - k)
ఈ సందర్భంలో, తుది ఫలితం:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
విధానం 6 కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించి
గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్‌ను ఉపయోగించడానికి మీకు అనుమతి ఉంటే, ఇది మీ పనిని, ముఖ్యంగా పరీక్షల సమయంలో బాగా దోహదపడుతుందని తెలుసుకోండి. ఈ సూచనలు టెక్సాస్ ఇన్స్ట్రుమెంట్ బ్రాండ్ యొక్క గ్రాఫికల్ కాలిక్యులేటర్లకు మాత్రమే చెల్లుతాయి. ఉదాహరణకు ఈ క్రింది సమీకరణాన్ని తీసుకోండి:
-
కాలిక్యులేటర్‌లో మీ సమీకరణాన్ని నమోదు చేయండి. మీరు "రిసల్వర్ ఈక్వేషన్" ను ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది, అంటే స్క్రీన్. -
కాలిక్యులేటర్‌లో మీ సమీకరణం యొక్క గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యం చేయండి. సమీకరణంలోకి ప్రవేశించిన తరువాత, నొక్కండి - అప్పుడు మీరు వక్రత యొక్క గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యం కనిపించడాన్ని చూడాలి (మరింత ఖచ్చితంగా, మీరు బహుపదాలపై పనిచేస్తున్నందున మీకు "ఆర్క్" లభిస్తుంది). -
X- అక్షం (x) తో ఆర్క్ యొక్క ఖండన పాయింట్లను కనుగొనండి. బహుపది సమీకరణాలు సాంప్రదాయకంగా రూపంలో వ్రాయబడినందున: గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి = 0, ఇవి x యొక్క రెండు విలువలు, దీని కోసం వ్యక్తీకరణ సున్నాకి సమానం:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2. - మీ వక్రత x- అక్షం దాటిన విలువలను మీరు చదవలేకపోతే, అప్పుడు నొక్కండి. "సున్నా" నొక్కండి లేదా ఎంచుకోండి.ఖండనలలో ఒకదానికి ఎడమవైపు కర్సర్‌ను తరలించి, నొక్కండి. అప్పుడు కర్సర్‌ను ఈ ఖండన యొక్క కుడి వైపుకు తరలించి, మళ్ళీ నొక్కండి. తరువాత, కర్సర్‌ను ఖండనకు వీలైనంత దగ్గరగా తరలించి, మళ్ళీ నొక్కండి. కాలిక్యులేటర్ x విలువను కనుగొంటుంది. ఇతర ఖండన కోసం అదే పని చేయండి.
-
చివరగా, మునుపటి దశలో పొందిన x విలువలను రెండు-కారకాల వ్యక్తీకరణగా పరిచయం చేయండి. మేము పిలిస్తే h మరియు k x యొక్క మా రెండు విలువలు, అప్పుడు మేము ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణను ఉపయోగిస్తాము:(x - h) (x - k) = 0
కాబట్టి, మేము ఈ క్రింది రెండు అంశాలను పొందుతాము:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
- ఒక పెన్సిల్
- కాగితం
- రెండవ డిగ్రీ సమీకరణం (లేదా వర్గ సమీకరణం)
- గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ (ఐచ్ఛికం)