సమూహం ద్వారా ఎలా కారకం చేయాలి

విషయము

• దశల్లో
• విధానం 1 రెండవ డిగ్రీ యొక్క బహుపదాలు
• రెండవ డిగ్రీ యొక్క బహుపదాల కారకాలకు కొన్ని ఉదాహరణలు
• విధానం 2 నాలుగు పదాలతో బహుపదాలు
• నాలుగు-కాల బహుపదాల కారకాలకు కొన్ని ఉదాహరణలు

ఈ వ్యాసంలో: రెండవ డిగ్రీ బహుపదాలు నాలుగు పదాలతో సూచనలు

సమూహాల యొక్క రెండవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాలను మరింత తేలికగా పరిష్కరించడానికి ఒక సాంకేతికత ఉంది. ఇది నాలుగు-కాల బహుపదాల సరళీకరణలో కూడా ఉపయోగించబడుతుంది. బహుపదాల రకాన్ని బట్టి పద్ధతి యొక్క స్వల్ప వ్యత్యాసాలు ఉన్నాయి.

దశల్లో

విధానం 1 రెండవ డిగ్రీ యొక్క బహుపదాలు

1. 
   

   
   బహుపది యొక్క నిర్మాణాన్ని గమనించడం ద్వారా ప్రారంభించండి. ఈ పద్ధతిలో, బహుపది దాని కానానికల్ రూపంలో ప్రదర్శించడం అవసరం: గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సి
   • చాలా తరచుగా, మొదటి గుణకం (గొడ్డలి యొక్క "a") 1 నుండి భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించాలని మేము భావిస్తాము, అయితే ఈ సందర్భంలో ఇప్పటికీ పద్ధతి పనిచేస్తుంది.
   • ఉదాహరణకు : 2x + 9x + 10

2. 
   

   
   కనుగొనండి తీవ్ర గుణకాలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది. గుణకాలను గుణించండి ఉంది మరియు సి. ఈ ఉత్పత్తి అంటారు తీవ్ర గుణకాలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది.
   • ఉదాహరణకు : 2x + 9x + 10
     • a = 2; c = 10
     • a x c = 2 x 10 = 20

3. 
   

   
   
   
   విపరీతమైన గుణకాల ఉత్పత్తిని జత కారకాలుగా విభజించండి. తరువాతి ఉత్పత్తి యొక్క అన్ని కారకాలను జాబితా చేయండి, ఆపై వాటిని జతగా సమూహపరచండి, దీని ఉత్పత్తి గుణకాల ఉత్పత్తిని ఇస్తుంది.
   • ఉదాహరణకు 20 యొక్క కారకాలు: 1, 2, 4, 5, 10, 20
     • ప్రత్యేకమైన కారకాల జతలు ఈ విధంగా పొందబడతాయి: (1, 20), (2, 10), (4, 5)

4. 
   

   
   అప్పుడు బహుపది యొక్క రెండవ గుణకానికి సమానమైన కారకాల జతను కనుగొనండి, అనగా "బి". ప్రతి జతను తీసుకొని రెండు మూలకాలను జోడించండి, మీరు తప్పనిసరిగా "b" గుణకం ఉన్న జతను ఎంచుకోవాలి.
   • మీ తీవ్రమైన గుణకాల ఉత్పత్తి ప్రతికూలంగా ఉంటే, మీరు "b" గుణకానికి సమానమైన జతను కనుగొనవలసి ఉంటుంది.
   • ఉదాహరణకు : 2x + 9x + 10
     • b = 9
     • 1 + 20 = 21 - ఇది కాదు కుడి జత
     • 2 + 10 = 12 - ఇది కాదు కుడి జత
     • 4 + 5 = 9 – ఈ కుడి జత

5. 
   

   
   
   
   బహుపది యొక్క రెండవ పదం యొక్క గుణకాన్ని మీరు కనుగొన్న జతతో భర్తీ చేయండి. సంకేతాలకు శ్రద్ధ చూపుతూ కొత్త పదాన్ని అభివృద్ధి చేయండి.
   • A + b = b + a నుండి, జతలోని కారకాల అర్థంతో సంబంధం లేకుండా.
   • ఉదాహరణకు : 2x + 9x + 10 = 2x + (5 + 4) x + 10 = 2x + 5x + 4x + 10

6. 
   

   
   నాలుగు పదాలను రెండు జతల పదాలుగా విభజించండి. మొదటి రెండు, తరువాత రెండు సమూహాలు.
   • ఉదాహరణకు : 2x + 5x + 4x + 10 = (2x + 5x) + (4x + 10)

7. 
   

   
   ప్రతి జతకు కారకం. ప్రతి జతలో సాధారణ కారకాన్ని (ల) కనుగొని, వాటిని కారకాలుగా ఉంచండి. అప్పుడు బహుపది రాయండి.
   • ఉదాహరణకు : x (2x + 5) + 2 (2x + 5) - మేము మొదటి జతకి "x" కారకాన్ని మరియు రెండవదానికి 2 ని ఉంచాము

8. 
   

   
   మళ్ళీ కారకం. సాధారణంగా, మీరు రెండు పదాలను కుండలీకరణాల్లో కారకం చేయగలగాలి ఎందుకంటే అవి ఒకేలా ఉండాలి. చివరగా, మీరు మిగిలిన నిబంధనలను కలిపి ఉంచుతారు.
   • ఉదాహరణకు : (2x + 5) (x + 2) - మేము (2x + 5) కారకాన్ని ఉంచాము మరియు మిగిలిన వాటిని సమూహం చేస్తాము

9. 
   

   
   మీ తుది జవాబును నమోదు చేయండి.
   • ఉదాహరణకు : 2x + 9x + 10 = (2x + 5) (x + 2)
     • చివరి సమాధానం: (2x + 5) (x + 2)

రెండవ డిగ్రీ యొక్క బహుపదాల కారకాలకు కొన్ని ఉదాహరణలు

1. 
   

   
   refactor: 4x - 3x - 10
   • a x c = 4 x -10 = -40
   • 40 యొక్క కారకాల జతలు: (1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)
   • కుడి జత: (5, 8); 5 - 8 = -3
   • 4x - 8x + 5x - 10
   • (4x - 8x) + (5x - 10)
   • 4x (x - 2) + 5 (x - 2)
   • (x - 2) (4x + 5)

2. 
   

   
   refactor: 8x + 2x - 3
   • a x c = 8 x -3 = -24
   • 24 యొక్క కారకాల జతలు: (1, 24), (2, 12), (4, 6)
   • మంచి జత: (4, 6), 6 - 4 = 2 నుండి
   • 8x + 6x - 4x - 3
   • (8x + 6x) - (4x + 3)
   • 2x (4x + 3) - 1 (4x + 3)
   • (4x + 3) (2x - 1)

విధానం 2 నాలుగు పదాలతో బహుపదాలు

1. 
   

   
   బహుపది యొక్క నిర్మాణాన్ని గమనించడం ద్వారా ప్రారంభించండి. అతను నాలుగు పదాలను సమర్పించాలి.ఈ రకమైన బహుపదాలు చాలా భిన్నంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే మీరు తరువాత చూస్తారు.
   • చాలా తరచుగా, ఈ పద్ధతి మూడవ డిగ్రీ బహుపదాలతో ఉపయోగించబడుతుంది: గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సిఎక్స్ + డి
   • బహుపదాలు వాటి కానానికల్ రూపాల్లో ఉండాలి. ఉదాహరణలు:
     • axy + by + cx + d
     • గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సిక్సీ + డై
     • గొడ్డలి + బిఎక్స్ + సిఎక్స్ + డిఎక్స్
     • ... లేదా ఇతర రూపాలు.
   • ఉదాహరణకు : 4x + 12x + 6x + 18x

2. 
   

   
   కనుగొనండి అతిపెద్ద సాధారణ అంశం (పిజిసిఎఫ్) మరియు దానిని కారకంగా ఉంచండి. బహుపది యొక్క అన్ని నిబంధనలకు సాధారణమైన అంశం ఉందో లేదో చూడండి. ఒకటి ఉంటే సాధ్యమైనంత పెద్దదాన్ని కనుగొని, దానిని కారకంగా ఉంచండి.
   • పిజిసిఎఫ్ 1 అయితే, ఏమీ లేదు, మీరు కారకం చేయలేరు.
   • మీరు పిజిసిఎఫ్‌ను కారకం చేసినప్పుడు, దాని కింద లెక్కల సమయంలో మీరు దానిని కోల్పోకూడదు. తుది సమాధానం వచ్చేవరకు ప్రతిసారీ ఇది తిరిగి వ్రాయబడాలి.
   • ఉదాహరణకు : 4x + 12x + 6x + 18x
     • 2x ప్రతి పదానికి సాధారణం, కాబట్టి మేము దానిని కారకంగా ఉంచవచ్చు, ఇది ఇస్తుంది:
     • 2x (2x + 6x + 3x + 9)

3. 
   

   
   అప్పుడు ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ కారకాలు ఉన్న పదాలను సమూహపరచండి. ఉదాహరణకు, మీరు మొదటి రెండు పదాలను మరియు చివరి రెండు పదాలను సమూహపరచవచ్చు.
   • రెండవ సమూహం యొక్క మొదటి పదం ప్రతికూలంగా ఉంటే, -1 కారకాన్ని ఉంచండి. ఈ విధంగా, మొదటి పదం సానుకూలంగా మారుతుంది మరియు మీరు రెండవ పదం యొక్క గుర్తును మార్చవలసి ఉంటుంది (+ అవుతుంది - మరియు దీనికి విరుద్ధంగా)
   • ఉదాహరణకు : 2x (2x + 6x + 3x + 9) = 2x

4. 
   

   
   కనుగొనండి అతిపెద్ద సాధారణ అంశం (PGCF) ప్రతి జత. ఈ PGCF లు ప్రశ్నార్థక జత యొక్క కుండలీకరణం ముందు ఉండాలి. దానికి అనుగుణంగా బహుపది రాయండి.
   • మేము కారకం చేసినప్పుడు, ఉదాహరణకు 2x, మనం 2x లేదా -2x కారకం కాదా అని మనల్ని మనం ప్రశ్నించుకోవాలి. ఇవన్నీ ద్విపద పదాల సంకేతాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి. రెండు కేసులు ఉన్నాయి:
     • ద్విపద యొక్క మొదటి పదం సానుకూలంగా ఉంటే, సానుకూల పరిమాణాన్ని కారకం చేయండి.
     • నిబంధనలలో మొదటిది ప్రతికూలంగా ఉంటే, ప్రతికూల పరిమాణాన్ని కారకం చేయండి.
   • ఉదాహరణకు 2x = 2x - మేము మొదటి జతపై 2x కారకాన్ని మరియు రెండవదానికి 3 మాత్రమే ఉంచాము.

5. 
   

   
   సాధారణ జతను మళ్లీ కారకం చేయండి. సాధారణంగా, మీరు ఒక సాధారణ ద్విపదను చూడాలి మరియు మీరు దానిని సాధారణ కారకంలో ఉంచవచ్చు. అప్పుడు దానికి అనుగుణంగా బహుపదిని అమర్చండి. దేనినీ మరచిపోకుండా మరియు సంకేతాలను మార్చకుండా జాగ్రత్త వహించండి!
   • మీకు రెండు సారూప్య జతలు రాకపోతే, అది ఎక్కడో లోపం. మీ లెక్కలను మళ్ళీ చేయండి. ఇది కేవలం నిబంధనలను తప్పుగా ఉంచడం లేదా సరళీకృతం లేకపోవడం కావచ్చు.
   • కుండలీకరణాల్లో ఉన్నది, చివరి రెండు జతలు ఒకేలా ఉండాలి. ఇది కాకపోతే, బహుపదిని కారకం చేయలేము, ఈ పద్దతితో గానీ, మరే ఇతర డైల్లర్లతో గాని.
   • ఉదాహరణకు : 2x = 2x

6. 
   

   
   మీ సమాధానం రాయండి. ఈ సమయంలో, మీకు మీ ఖచ్చితమైన సమాధానం ఉండాలి.
   • ఉదాహరణకు : 4x + 12x + 6x + 18x = 2x (x + 3) (2x + 3)
     • మీ చివరి సమాధానం: 2x (x + 3) (2x + 3)

నాలుగు-కాల బహుపదాల కారకాలకు కొన్ని ఉదాహరణలు

1. 
   

   
   refactor: 6x + 2xy - 24x - 8y
   • 2
   • 2
   • 2
   • 2
   • 2 (3x + y) (x - 4)

2. 
   

   
   refactor: x - 2x + 5x - 10
   • (x - 2x) + (5x - 10)
   • x (x - 2) + 5 (x - 2)
   • (x - 2) (x + 5)